Математический анализ Примеры

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + e^{2 x}) d x$ из обеих частей уравнения.

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{e^{x}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Этап 3.6

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ и $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{2 x}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

Этап 3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Умножим на $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Этап 3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Этап 3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

Этап 3.7.2.4

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Этап 4.2.3

Перепишем $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ в виде $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.3.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.3.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.3.2.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.3.4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.3.4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.6.2

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

Этап 4.3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

Этап 4.3.9

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

Этап 4.3.10

Упростим.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

Этап 4.3.11

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $y^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y^{3}}{3}$ в числитель.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.3.2

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

Этап 5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $3$ из $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 e^{- x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3 e^{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$