Математический анализ Примеры

$t^{2} \frac{d y}{d t} - t = 1 + y + t y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $t$ к обеим частям уравнения.

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ на $t^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ на $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $t$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t}{t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $t$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t^{1}}{t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.3.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $\frac{y}{t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t}$

Этап 1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $t^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{y}{t}$ на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t \cdot t} + \frac{1}{t}$

Этап 1.2.3.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t} + \frac{1}{t}$

Этап 1.2.3.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t^{1}} + \frac{1}{t}$

Этап 1.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1 + 1}} + \frac{1}{t}$

Этап 1.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Этап 1.2.5

Чтобы записать $\frac{1}{t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t}$

Этап 1.2.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $t^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $\frac{1}{t}$ на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t \cdot t}$

Этап 1.2.6.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t}$

Этап 1.2.6.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t^{1}}$

Этап 1.2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1 + 1}}$

Этап 1.2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Этап 1.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t + t}{t^{2}}$

Этап 1.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d y}{d t} = \frac{(1 + y) + y t + t}{t^{2}}$

Этап 1.2.8.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 (y + 1) + t (y + 1)}{t^{2}}$

Этап 1.2.8.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y + 1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{(y + 1) (1 + t)}{t^{2}}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d t} = (y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1 + t}{t^{2}}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y + 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $t^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Этап 2.3.2

Умножим $(1 + t) t^{- 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $t^{- 2}$ на $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Этап 2.3.3.2

Умножим $t$ на $t^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $t$ на $t^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Этап 2.3.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Этап 2.3.3.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $t^{- 2}$ по $t$ имеет вид $- t^{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int t^{- 1} d t$

Этап 2.3.6

Интеграл $t^{- 1}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \ln (| t |) + C_{3}$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| t |) = - \frac{1}{t} + C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |})} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{t} + C} = \frac{| y + 1 |}{| t |}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| t |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| t |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y + 1 | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$ .

$| y + 1 | = | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Этап 3.5.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Этап 3.5.4.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t | - 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{1}{t} + C}$ в виде $e^{- \frac{1}{t}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{t}} e^{C} | t | - 1$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{1}{t}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$