Математический анализ Примеры

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ , $y (0) = 6$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ на $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Этап 1.3.2.4

Разделим $2 y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 e^{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 (1)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{3 e^{- x}}{1}$

Этап 1.4.2.4

Разделим $3 e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 3 e^{- x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} e^{- x}$

Этап 3.4

Умножим $e^{2 x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 (e^{- x} e^{2 x})$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{- x + 2 x}$

Этап 3.4.3

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$

Этап 3.5

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 3 e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 3 e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 3 e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x} y = \int 3 e^{x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = 3 \int e^{x} d x$

Этап 7.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = 3 (e^{x} + C)$

Этап 7.3

Упростим.

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ на $e^{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $3 e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2.4

Разделим $3 e^{- x}$ на $1$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $6$ вместо $y$ в $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ .

$6 = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Этап 10

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$ .

$3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Этап 10.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Этап 10.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$3 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

Этап 10.2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$3 + \frac{C}{1} = 6$

Этап 10.2.4

Разделим $C$ на $1$ .

$3 + C = 6$

Этап 10.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$C = 6 - 3$

Этап 10.3.2

Вычтем $3$ из $6$ .

$C = 3$

Этап 11

Подставим $3$ вместо $C$ в $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $3$ вместо $C$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{3}{e^{2 x}}$