Математический анализ Примеры

$4 x y d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $4 x y d x$ из обеих частей уравнения.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Этап 3.3

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Этап 3.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Этап 3.5

Объединим $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4.3.4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ .

$| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ на ${(x^{2} + 1)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ на ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $| y |$ на $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.5.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$