Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x y = y^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $x y$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V - V$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $V^{2} + V - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0$

Этап 6.1.1.1.2.2

Добавим $V^{2}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2}$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель $V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Этап 6.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Вынесем $V^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

По правилу степени интеграл $V^{- 2}$ по $V$ имеет вид $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Перепишем $- V^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$V, 1, 1$

Этап 6.3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$V$

Этап 6.3.2

Каждый член в $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ умножим на $V$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ на $V$ .

$- \frac{1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{V}$ в числитель.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Этап 6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \ln (| x |) V + C V$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Изменим порядок множителей в $\ln (| x |) V + C V$ .

$- 1 = V \ln (| x |) + C V$

Этап 6.3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $V \ln (| x |) + C V = - 1$ .

$V \ln (| x |) + C V = - 1$

Этап 6.3.3.2

Вынесем множитель $V$ из $V \ln (| x |) + C V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $V$ из $C V$ .

$V \ln (| x |) + V C = - 1$

Этап 6.3.3.2.2

Вынесем множитель $V$ из $V \ln (| x |) + V C$ .

$V (\ln (| x |) + C) = - 1$

Этап 6.3.3.3

Разделим каждый член $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ на $\ln (| x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Разделим каждый член $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ на $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Этап 6.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $\ln (| x |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Этап 6.3.3.3.2.1.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Этап 6.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ .

$y = - \frac{x}{\ln (| x |) + C}$