Математический анализ Примеры

$(2 x y^{2} - y) d x + x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y^{2} - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y^{2}$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 1 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4 x y - 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y - 1 = 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$4 x y - 1 = 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $4 x y - 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (4 x y - 1)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $2 x y^{2} - y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x y^{2} - y$ вместо $M$ .

$\frac{1 - (4 x y - 1)}{2 x y^{2} - y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - (4 x y) - - 1}{2 x y^{2} - y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 4 (x y) - - 1}{2 x y^{2} - y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 4 (x y) + 1}{2 x y^{2} - y}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 4 x y + 2}{2 x y^{2} - y}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x y$ .

$\frac{2 (- 2 x y) + 2}{2 x y^{2} - y}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 2 x y) + 2 (1)}{2 x y^{2} - y}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{2 x y^{2} - y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $2 x y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{y (2 x y) - y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{y (2 x y) + y \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{y (2 x y - 1)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- 2 x y + 1$ и $2 x y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x y$ .

$\frac{2 (- (2 x y) + 1)}{y (2 x y - 1)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x y) - 1 (- 1))}{y (2 x y - 1)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x y - 1))}{y (2 x y - 1)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (2 x y - 1)$ в виде $- 1 (2 x y - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x y - 1))}{y (2 x y - 1)}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (2 x y - 1))}{y (2 x y - 1)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.6

Подставим $2 x y^{2} - y$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 x y^{2} - y) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x y^{2} - y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} - y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $2 x y^{2} - y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y$ из $2 x y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y) - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{y (2 x y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (2 x y - 1)}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (2 x y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x y - 1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y - 1}{y} d x + x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y - 1}{y} d x + \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 8.2

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f (x, y) = x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Этап 8.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Этап 8.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = x \int y^{- 2} d y$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x (- y^{- 1} + C)$

Этап 8.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем $x (- y^{- 1} + C)$ в виде $x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x (- \frac{1}{y}) + C$

Этап 8.5.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x y - 1}{y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y} + g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- \frac{x}{y} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- \frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{y}$ по $x$ равна $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Этап 11.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x y - 1}{y}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x y - 1}{y}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{2 x y - 1}{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x y - 1}{y} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - (2 x y - 1)}{y} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - (2 x y) - - 1}{y} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - 2 (x y) - - 1}{y} = 0$

Этап 12.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - 2 x y + 1}{y} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- 1 - 2 x y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y + 0}{y} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- 2 x y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Этап 13

Найдем первообразную $2 x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Этап 13.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 2 \int x d x$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Этап 13.5.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + x^{2} + C$