Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 4 x^{2}$

Этап 1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 4 x^{2}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 x d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 \int x d x}$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x^{2}} y = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} y = 4 \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Этап 7.2

Пусть $u_{1} = - x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u_{1} = - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Дифференцируем $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 7.2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 7.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x)$

Этап 7.2.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x$

Этап 7.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Этап 7.3.2

Объединим $\sqrt{- u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Этап 7.3.3

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Этап 7.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1})$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e^{- x^{2}} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Этап 7.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.7.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.7.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = e^{u_{1}}$ и $d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Объединим ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.9.2

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.9.3

Перенесем $2$ влево от ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.9.4

Перенесем $2$ влево от $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.9.5

Объединим ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.9.6

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Этап 7.9.7

Перенесем $2$ влево от ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Этап 7.9.8

Перенесем $2$ влево от $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 7.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 7.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 7.11.2

Умножим $\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ на $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 7.12

Поскольку $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.13

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Этап 7.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.1

Перепишем $- 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ в виде $- 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.14.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.2.1

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.14.2.2

Объединим ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.14.2.3

Перенесем $2$ влево от $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.14.2.4

Перенесем $2$ влево от ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.14.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.14.2.6

Объединим $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Этап 7.14.2.7

Добавим $- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ и $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \cdot 0 + C$

Этап 7.14.2.8

Умножим $- 2$ на $0$ .

$e^{- x^{2}} y = 0 + C$

Этап 7.14.2.9

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{- x^{2}} y = C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- x^{2}} y = C$ на $e^{- x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- x^{2}} y = C$ на $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$