Математический анализ Примеры

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

Этап 1

Вычтем $x^{2} \sin (x) d x$ из обеих частей уравнения.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \sin (x)$ .

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

Этап 4.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

Этап 4.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Этап 4.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Этап 4.3.4.2

Умножим $\int \cos (x) d x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Этап 4.3.5

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

Этап 4.3.6

Перепишем $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ в виде $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Этап 5.2.2.1.1.2

Умножим $- (- x \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Этап 5.2.2.1.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

Этап 5.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

Этап 5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$