Математический анализ Примеры

$y (3 + 2 x y^{2}) d x + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (3 + 2 x y^{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = 3 + 2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [3 + 2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $3 + 2 x y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.4

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y^{2}$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y)) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \cdot 1$

Этап 1.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Умножим $3 + 2 x y^{2}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 3 + 2 x y^{2}$

Этап 1.9.2

Добавим $4 x y^{2}$ и $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 3$

Этап 1.9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 3$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 (x^{2} y^{2} + x - 1)]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} y^{2} + x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.4

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y^{2}$ по $x$ равна $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 \cdot y^{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + 0)$

Этап 2.9

Добавим $2 y^{2} x + 1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1)$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Этап 2.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Этап 2.10.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 3$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $6 y^{2} x + 3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $6 y^{2} x + 3$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (3 + 2 x y^{2}) d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y \int 3 + 2 x y^{2} d x$

Этап 5.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = y (\int 3 d x + \int 2 x y^{2} d x)$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y (3 x + C + \int 2 x y^{2} d x)$

Этап 5.4

Поскольку $2 y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} \int x d x)$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

$y \frac{d}{d y} [3 x + y^{2} x^{2}] + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.2

По правилу суммы производная $3 x + y^{2} x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.3

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.4

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $y^{2} x^{2}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (0 + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.7

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$y (0 + 2 \cdot x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.8

Добавим $0$ и $2 x^{2} y$ .

$y (2 x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.9

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.10

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.13

Умножим $3 x + y^{2} x^{2}$ на $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + 3 x + y^{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.14

Добавим $2 x^{2} y^{2}$ и $y^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.3.14.2

Добавим $2 x^{2} y^{2}$ и $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перепишем.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 0 + 0 + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 9.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Этап 9.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 1$

Этап 9.1.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3$

Этап 9.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 9.1.2.2

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$

Этап 9.1.2.3

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.1

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 + 0 - 3 x$

Этап 9.1.2.3.2

Добавим $3 x - 3$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 - 3 x$

Этап 9.1.2.3.3

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 3$

Этап 9.1.2.3.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3$

Этап 10

Найдем первообразную $- 3$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 d y$

Этап 10.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = - 3 y + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = y (3 x) + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Этап 12.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = 3 y x + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Этап 12.3

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Перенесем $y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y x^{2} - 3 y + C$

Этап 12.3.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y^{1} x^{2} - 3 y + C$

Этап 12.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2 + 1} x^{2} - 3 y + C$

Этап 12.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{3} x^{2} - 3 y + C$