Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{y}$ , $y (- 1) = - 2$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = 6 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (2 x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (2 x^{3}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{2} = 4 x^{3} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{4 x^{3} + 2 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Этап 4

Так как $y$ принимает отрицательные значения при начальном условии $(- 1, - 2)$ , рассмотрим $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $- 1$ вместо $x$ , а $- 2$ вместо $y$ .

$- 2 = - \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$ .

$- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$

Этап 5.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$ в виде ${(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим ${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

${(- {(2 (2 \cdot - 1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(- {(2 (- 2 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(- {(2 \cdot - 2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

${(- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.2.2

Применим правило умножения к $- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.2.4

Умножим ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.2.5

Перемножим экспоненты в ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 4 + 2 K)}^{1} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим.

$- 4 + 2 K = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 4 + 2 K = 4$

Этап 5.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2 K = 4 + 4$

Этап 5.4.1.2

Добавим $4$ и $4$ .

$2 K = 8$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $2 K = 8$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $2 K = 8$ на $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{8}{2}$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Разделим $8$ на $2$ .

$K = 4$

Этап 6

Подставим $4$ вместо $K$ в $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $4$ вместо $K$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 4)}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3}) + 4)}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 2 \cdot 2)}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 \cdot 2$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3} + 2))}$

$y = - \sqrt{2 \cdot 2 (x^{3} + 2)}$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $2$ .

$y = - \sqrt{4 (x^{3} + 2)}$

Этап 6.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = - \sqrt{2^{2} (x^{3} + 2)}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = - (2 \sqrt{x^{3} + 2})$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - 2 \sqrt{x^{3} + 2}$