Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} - y = \frac{y}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x \cdot x} + \frac{y}{x}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x} + \frac{y}{x}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x^{1}} + \frac{y}{x}$

Этап 1.1.2.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1 + 1}} + \frac{y}{x}$

Этап 1.1.2.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $\frac{y}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x \cdot x}$

Этап 1.2.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x}$

Этап 1.2.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Этап 1.2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Этап 1.2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + y x}{x^{2}}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y + y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} + y x}{x^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y x}{x^{2}}$

Этап 1.2.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (x)}{x^{2}}$

Этап 1.2.4.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 + x)}{x^{2}}$

Этап 1.2.4.5

Умножим $y$ на $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + x)}{x^{2}}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x^{2}}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

Умножим $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.2

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Этап 2.3.3.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int x^{- 1} d x$

Этап 2.3.6

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{1}{x} + C}$ в виде $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{- \frac{1}{x}} e^{C})$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{1}{x}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{- \frac{1}{x}})$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | x | e^{- \frac{1}{x}}$