Математический анализ Примеры

$y^{2} (x + y + 1) d x + x y (x + 3 y + 2) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} (x + y + 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x + y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.6.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) (2 y)$

Этап 1.3.8

Перенесем $2$ влево от $x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 \cdot (x + y + 1) y$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (2 x + 2 y + 2 \cdot 1) y$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y \cdot y + 2 \cdot 1 y$

Этап 1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y) + 2 \cdot 1 y$

Этап 1.4.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y^{1}) + 2 \cdot 1 y$

Этап 1.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{1 + 1} + 2 \cdot 1 y$

Этап 1.4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 \cdot 1 y$

Этап 1.4.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 y$

Этап 1.4.3.6

Добавим $y^{2}$ и $2 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y (x + 3 y + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y (x + 3 y + 2)]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y (x + 3 y + 2)$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 3 y + 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x + 3 y + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \cdot 1)$

Этап 2.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Умножим $x + 3 y + 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + x + 3 y + 2)$

Этап 2.4.8.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 3 y + 2)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + y (3 y) + y \cdot 2$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x + y (3 y) + y \cdot 2$

Этап 2.5.2.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y) + y \cdot 2$

Этап 2.5.2.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) + y \cdot 2$

Этап 2.5.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{1 + 1} + y \cdot 2$

Этап 2.5.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + y \cdot 2$

Этап 2.5.2.6

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + 2 y$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} (x + y + 1) d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y^{2} \int x + y + 1 d x$

Этап 5.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = y^{2} (\int x d x + \int y d x + \int d x)$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int y d x + \int d x)$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + y x + C + \int d x)$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + \int d x)$

Этап 5.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + x + C)$

Этап 5.7

Упростим.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.2.2

По правилу суммы производная $y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

$y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} + y x + x] + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.2

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.3

Поскольку $\frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.4

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.6

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.8

Умножим $x$ на $1$ .

$y^{2} (0 + x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.9

Добавим $0$ и $x$ .

$y^{2} (x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.10

Добавим $x$ и $0$ .

$y^{2} x + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.3.11

Перенесем $2$ влево от $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ .

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} x + (2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (y x) + 2 x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} x + 2 \frac{x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.3.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.3.4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y^{1}) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{1 + 1} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.3.7

Добавим $y^{2} x$ и $2 x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.7.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $x$ .

$x y^{2} + 2 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.3.7.2

Добавим $x y^{2}$ и $2 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 8.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $x y (x + 3 y + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перепишем.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = 0 + 0 + x y (x + 3 y + 2)$

Этап 9.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

Этап 9.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y x + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Этап 9.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.4.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x \cdot x y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Этап 9.1.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Этап 9.1.1.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + x y \cdot 2$

Этап 9.1.1.4.3

Перенесем $2$ влево от $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 \cdot (x y)$

Этап 9.1.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.5.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 \cdot (x y)$

Этап 9.1.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 \cdot (x y)$

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Этап 9.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $3 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x$

Этап 9.1.2.2

Вычтем $x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y$

Этап 9.1.2.3

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

Этап 9.1.2.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.4.1

Изменим порядок множителей в членах $3 x y^{2}$ и $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

Этап 9.1.2.4.2

Вычтем $3 y^{2} x$ из $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y + 0 - x^{2} y - 2 x y$

Этап 9.1.2.4.3

Добавим $x^{2} y + 2 x y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y - x^{2} y - 2 x y$

Этап 9.1.2.4.4

Вычтем $x^{2} y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

Этап 9.1.2.4.5

Добавим $2 x y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Этап 9.1.2.4.6

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 10

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 10.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 10.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + C$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = y^{2} \frac{x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

Этап 12.3.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Перенесем $y$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y \cdot y^{2} x + y^{2} x + C$

Этап 12.3.2.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1} y^{2} x + y^{2} x + C$

Этап 12.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1 + 2} x + y^{2} x + C$

Этап 12.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$