Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ .

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(y + 2)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y + 2$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем $u^{6}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $u^{- 6}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{5}}$ на $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.4.2.2

Перенесем $5$ влево от $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $- 1$ вместо $y$ в $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ .

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Этап 4.3

Упростим $- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

Этап 4.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $5$ на $1$ .

$K = - \frac{1}{5}$

Этап 5

Подставим $- \frac{1}{5}$ вместо $K$ в $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{1}{5}$ вместо $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$