Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) d y - (1 + y^{2}) d x = 0$

Этап 1

Добавим $(1 + y^{2}) d x$ к обеим частям уравнения.

$(1 + x^{2}) d y = (1 + y^{2}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Этап 5.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Этап 5.3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Этап 5.4

Перепишем уравнение в виде $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Этап 5.5

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (y)$ из тангенса.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Этап 5.6

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Этап 5.7

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Этап 5.8

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Этап 5.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (y)$ из тангенса.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Этап 5.10

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Этап 5.11

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$