Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 - y} d y = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 2 - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 2 - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Этап 2.3.4

Перепишем $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ в виде $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{x + 1} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\ln (| 2 - y |)$ на $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + C}{- 1}$

Этап 3.1.3.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C \cdot 1}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.4.2

Умножим $C$ на $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $C x$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) - (- C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- C x)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $C$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) - 1 (- C)}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1 - C x) - 1 (- C)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x - C)}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1 - C x - C}{x + 1}}{- 1}$

Этап 3.1.3.5.7

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}{1}$

Этап 3.1.3.5.8

Разделим $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ на $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} = | 2 - y |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Этап 3.4.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} - 2$

Этап 3.4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Разобьем дробь $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ на две дроби.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Этап 3.4.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.2.1

Разобьем дробь $\frac{1 - C x}{x + 1}$ на две дроби.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} + \frac{- C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Этап 3.4.3.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Этап 3.4.3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Чтобы записать $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.2

Чтобы записать $\frac{- 2}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.3.1

Умножим $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3.3

Умножим $\frac{- 2}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Этап 3.4.4.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.3

Перенесем $- 1$ влево от $\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.4

Перепишем $- 1 (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ в виде $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2}{1}$

Этап 3.4.4.3.6

Разделим $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$ на $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - (\pm e^{\frac{1 + C x + C}{x + 1}}) + 2$