Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{3} (1 - y)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} (x^{3} (1 - y))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $1 - y$ из $x^{3} (1 - y)$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) x^{3})$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) x^{3})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - y} d y = x^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int x^{3} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int x^{3} d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int x^{3} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int x^{3} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x^{3} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - y |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - y |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\ln (| 1 - y |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{4} x^{4}}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\frac{1}{4} x^{4})$ в виде $- (\frac{1}{4} x^{4})$ .

$\ln (| 1 - y |) = - (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} - 1 \cdot C$

Этап 3.1.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} - C$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 - y |)} = e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 1 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{4}}{4} - C} = | 1 - y |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 - y | = e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}$ .

$| 1 - y | = e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}$

Этап 3.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C} - 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C})$ в виде $- (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C})$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - C}) + 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} + C}) + 1$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- \frac{x^{4}}{4} + C}$ в виде $e^{- \frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4}} e^{C}) + 1$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- \frac{x^{4}}{4}}$ и $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{4}}{4}}) + 1$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = - (C e^{- \frac{x^{4}}{4}}) + 1$