Математический анализ Примеры

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{2} y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} e^{x} + 3 y = x^{2} y$

Этап 1.1.2

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$

Этап 1.1.3

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ на $e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Этап 1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} - \frac{3 y}{e^{x}}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 3 y}{e^{x}}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 3 y}{e^{x}}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 3}{e^{x}}$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2} + y \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 3)}{e^{x}}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) {(e^{x})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{x \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- x} d x$

Этап 2.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2} - 3$ и $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Этап 2.3.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Этап 2.3.6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Этап 2.3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Этап 2.3.8.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Этап 2.3.9

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.9.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.3.9.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Этап 2.3.12

Перепишем $(x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ в виде $- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.13

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Этап 2.3.14

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Этап 3.3.2

Упростим $e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}$

Этап 3.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}$

Этап 3.3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вычтем $2 e^{- x}$ из $3 e^{- x}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Этап 3.3.2.2.2

Изменим порядок множителей в $e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ .

$| y | = e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ в виде $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$