Математический анализ Примеры

$(1 + e^{2 y}) d x + (2 x e^{2 y}) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + e^{2 y}) d x$ из обеих частей уравнения.

$2 x e^{2 y} d y = - (1 + e^{2 y}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (2 x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Этап 3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x e^{2 y}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{2}{1 + e^{2 y}}$ и $e^{2 y}$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Этап 3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $1 + e^{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ в числитель.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $1 + e^{2 y}$ из $x (1 + e^{2 y})$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Этап 3.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Этап 3.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Тогда $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $1 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{2 y}]$

Этап 4.2.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{2 y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Этап 4.2.2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Этап 4.2.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 4.2.2.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 4.2.2.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 4.2.2.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Этап 4.2.2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Этап 4.2.2.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Этап 4.2.2.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Этап 4.2.2.1.4

Добавим $0$ и $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.5.3

Умножим $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + e^{2 y}$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) = - \ln (| x |) + C$