Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x - 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x - 3$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x - 3$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3.1.1.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = x + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3.1.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x + 2 + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = x + 2 - \frac{3}{x}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (x + 2 - \frac{3}{x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x + 2 - \frac{3}{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x + 2 - \frac{3}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x d x + \int 2 d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 2 d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} + \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - \int \frac{3}{x} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.7

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - 3 (\ln (| x |) + C_{4})$

Этап 2.3.8

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3 \ln (| x |) + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3 \ln (| x |) + C$