Математический анализ Примеры

$(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 1]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 1.3

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (x e^{y} + e^{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x e^{y} + e^{y})]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x e^{y} + e^{y})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x e^{y} + e^{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Этап 2.4

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $x e^{y}$ по $x$ равна $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Этап 2.6

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Этап 2.7

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $e^{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + 0)$

Этап 2.8

Добавим $e^{y}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{y}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- e^{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - e^{y}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$0 = - e^{y}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- e^{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{N}$

Этап 4.3

Подставим $- (x e^{y} + e^{y})$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- (x e^{y} + e^{y})$ вместо $N$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $- - e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{0 + 1 e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\frac{0 + e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $0$ и $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $x e^{y} + e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $x e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y})}$

Этап 4.3.3.2

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y} \cdot 1)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} x + e^{y} \cdot 1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} (x + 1))}$

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 1 (x + 1)}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- 1 (x + 1)}$

Этап 4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x + 1}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Этап 5.2

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 5.2.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Этап 5.4

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Этап 5.5

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 1 |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- \ln (| x + 1 |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 1 |}^{- 1})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x + 1 |}^{- 1} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 1 |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x - 1$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$(x - 1) \frac{1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x - 1$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $- (x e^{y} + e^{y})$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + (- (x e^{y}) - e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $- x e^{y} - e^{y}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{- x e^{y} - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.6

Вынесем множитель $e^{y}$ из $- x e^{y} - e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $- x e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.6.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.6.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x - 1)}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.7

Сократим общий множитель $- x - 1$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1)}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.7.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1 (1))}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.7.4

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.7.5

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Этап 6.7.6

Разделим $e^{y} \cdot (- 1)$ на $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + e^{y} \cdot (- 1) d y = 0$

Этап 6.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - 1 \cdot e^{y} d y = 0$

Этап 6.9

Перепишем $- 1 e^{y}$ в виде $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - e^{y} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{y} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = - e^{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int e^{y} d y$

Этап 8.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$f (x, y) = - (e^{y} + C)$

Этап 8.3

Упростим.

$f (x, y) = - e^{y} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y} + g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- e^{y} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 11.3

Поскольку $- e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 11.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 12

Найдем первообразную $\frac{x - 1}{x + 1}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Этап 12.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Этап 12.3

Разделим $x - 1$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Этап 12.3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

Этап 12.3.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

Этап 12.3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

Этап 12.3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

Этап 12.3.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$g (x) = \int 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

Этап 12.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Этап 12.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = x + C + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Этап 12.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = x + C - \int \frac{2}{x + 1} d x$

Этап 12.7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = x + C - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 12.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 12.9

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 12.9.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 12.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 12.9.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$g (x) = x + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Этап 12.11

Упростим.

$g (x) = x - 2 \ln (| u |) + C$

Этап 12.12

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$g (x) = x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 13

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим $- 2 \ln (| x + 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({| x + 1 |}^{2}) + C$

Этап 14.2

Уберем знак модуля в ${| x + 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({(x + 1)}^{2}) + C$