Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \sqrt{x} + 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 1 + \sqrt{x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 1 + \sqrt{x}$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 1 + \sqrt{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.5

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 2}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Этап 3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{2 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Этап 3.2.4.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 7.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 7.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{- 2} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 7.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.4.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Этап 7.4.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Этап 7.4.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Этап 7.4.2.3.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Этап 7.4.2.3.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 7.4.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 7.4.2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Этап 7.4.2.3.5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Этап 7.4.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 7.5

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 7.6

Упростим.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{1}{x} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $\frac{1}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 8.1.2

Добавим $2 x^{- \frac{1}{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} = C$

Этап 8.1.3

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Этап 8.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Этап 8.1.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Этап 8.1.4.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = - \frac{1}{x}$

Этап 8.2.2

Вычтем $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.3

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$y = \frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.1.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.1.4

Перепишем это выражение.

$y = - 1 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{2}$ .

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - 1 x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.4

Перенесем $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = - x + C x^{2} - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2.1.5

Изменим порядок $- x$ и $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - x - 2 x^{\frac{3}{2}}$