Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 3 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.2.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 3 \int u^{2} d u$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ в виде $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Умножим $u^{3}$ на $1$ .

$y + C_{1} = u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \sin^{3} (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \sin^{3} (x) + K$