Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $3 y - y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 - y^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 + y (- y)}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 3 + y (- y)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 y \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Этап 1.2.4

Объединим $3$ и $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Этап 1.2.5.2

Сократим общий множитель.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Этап 1.2.5.3

Перепишем это выражение.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y \frac{\cos (x)}{3 - y}$

Этап 1.2.6

Объединим $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ и $y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - \frac{\cos (x) y}{3 - y}$

Этап 1.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x) - \cos (x) y}{3 - y}$

Этап 1.2.8

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $3 \cos (x) - \cos (x) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $3 \cos (x)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 - \cos (x) y}{3 - y}$

Этап 1.2.8.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x) y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)}{3 - y}$

Этап 1.2.8.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Этап 1.2.9

Сократим общий множитель $3 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Сократим общий множитель.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Этап 1.2.9.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(3 y - y^{2}) d y = \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 3 y - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим.

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.6.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} = \sin (x) + K$