Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = \frac{(s^{3} - s) (4 t^{3} - 6 t)}{(t^{4} - 3 t^{2}) (3 s^{2} - 1)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d s}{d t} = \frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $s$ из $s^{3} - s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Вынесем множитель $s$ из $s^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.1.1.2

Вынесем множитель $s$ из $- s$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.1.1.3

Вынесем множитель $s$ из $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1^{2})} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = s$ и $b = 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $s$ из $s^{3} - s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Вынесем множитель $s$ из $s^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.2.1.2

Вынесем множитель $s$ из $- s$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.2.1.3

Вынесем множитель $s$ из $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1^{2})}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.2.3

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2 t$ из $4 t^{3} - 6 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $2 t$ из $4 t^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $2 t$ из $- 6 t$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.3.3

Вынесем множитель $2 t$ из $2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{4} - 3 t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{4}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} - 3 t^{2}})$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $- 3 t^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3})$

Этап 1.3.4.3

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Этап 1.3.5

Сократим общий множитель $t$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Вынесем множитель $t$ из $2 t (2 t^{2} - 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Этап 1.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} (t^{2} - 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Этап 1.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Этап 1.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)})$

Этап 1.3.6

Умножим $\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1}$ на $\frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Этап 1.3.7

Сократим общий множитель $3 s^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Этап 1.3.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Этап 1.3.8

Сократим общий множитель $s (s + 1) (s - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Этап 1.3.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = s^{3} - s$ . Тогда $d u_{1} = (3 s^{2} - 1) d s$ , следовательно $\frac{1}{3 s^{2} - 1} d u_{1} = d s$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = s^{3} - s$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $s^{3} - s$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3} - s]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $s^{3} - s$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 s^{2} + \frac{d}{d s} [- s]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d s} [- s]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $s$ , производная $- s$ по $s$ равна $- \frac{d}{d s} [s]$ .

$3 s^{2} - \frac{d}{d s} [s]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 s^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 s^{2} - 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $s^{3} - s$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{2 t^{2} - 3}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 2.3.2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.3

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $t^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.4.2

Разделим $2 t^{2} - 3$ на $1$ .

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.5.1.2

Разделим $A (t^{2} - 3)$ на $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.5.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.5.4

Сократим общий множитель $t^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.1.5.4.2

Разделим $(B t + C) (t)$ на $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Этап 2.3.2.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Этап 2.3.2.1.5.6

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.6.1

Перенесем $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Этап 2.3.2.1.5.6.2

Умножим $t$ на $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Этап 2.3.2.1.6

Перенесем $- 3 A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Этап 2.3.2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 2.3.2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 2.3.2.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $t$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 3 = - 3 A$

Этап 2.3.2.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

Этап 2.3.2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 3 = - 3 A$

Этап 2.3.2.3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 A = - 3$ .

$- 3 A = - 3$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 2.3.2.3.2.2

Разделим каждый член $- 3 A = - 3$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 A = - 3$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 2.3.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 2.3.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 2.3.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 3$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 2.3.2.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A + B$ на $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 2.3.2.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 2.3.2.3.4

Решим относительно $B$ в $2 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 2.3.2.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 2.3.2.3.4.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 2.3.2.3.5

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Этап 2.3.2.3.6

Перечислим все решения.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Этап 2.3.2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{1}{t} + \frac{1 t + 0}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{t} + \frac{(1) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.2.1

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{1}{t} + \frac{t + 0}{t^{2} - 3}$

Этап 2.3.2.5.2.2

Добавим $t$ и $0$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} + \frac{t}{t^{2} - 3} d t$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\int \frac{1}{t} d t + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Этап 2.3.5

Пусть $u_{2} = t^{2} - 3$ . Тогда $d u_{2} = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u_{2} = t^{2} - 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $t^{2} - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 2.3.5.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 t + 0$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $2 t$ и $0$ .

$2 t$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}))$

Этап 2.3.9

Упростим.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C_{4}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t^{2} - 3$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| t^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Этап 2.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| t^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.11.2

Чтобы записать $\ln (| t |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.11.3

Объединим $\ln (| t |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\frac{\ln (| t |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.11.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.5.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.11.5.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Этап 2.3.11.6

Перенесем $2$ влево от $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| s^{3} - s |) = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C$