Математический анализ Примеры

$x \cdot y + x + \frac{d y}{d x} \cdot y + \frac{d y}{d x} \cdot y \cdot x = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим $\frac{d y}{d x} y$ на $x$ .

$x y + x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} y$ из $\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} y$ из $\frac{d y}{d x} y$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} y$ из $\frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} y$ из $\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ на $y (1 + x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ на $y (1 + x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.2.2

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.2

Чтобы записать $- \frac{x}{1 + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + x) y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.3.1

Умножим $\frac{x}{1 + x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(1 + x) y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(1 + x) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{y (1 + x)} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y - x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.5

Вынесем множитель $x$ из $- x y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) - x}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) + x \cdot - 1}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y - 1)}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1)}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (1))}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y + 1))}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.9.1

Перепишем $- (y + 1)$ в виде $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y + 1))}{y (1 + x)}$

Этап 1.1.4.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (- \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{x}{1 + x}$ на $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{y + 1}$ в числитель.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Этап 1.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Этап 1.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Этап 1.4.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Этап 1.4.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{1 + x}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $y + 1$ из $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Этап 1.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Этап 1.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим $y$ на $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Этап 2.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Этап 2.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Этап 2.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Этап 2.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Этап 2.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.2.5

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 2.3.2

Изменим порядок $1$ и $x$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 2.3.3

Разделим $x$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 2.3.3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 2.3.3.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Этап 2.3.3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Этап 2.3.3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Этап 2.3.3.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 2.3.7

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.7.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Этап 2.3.9

Упростим.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Этап 2.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Этап 2.3.11.2

Умножим $- - \ln (| x + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Этап 2.3.11.2.2

Умножим $\ln (| x + 1 |)$ на $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$