Математический анализ Примеры

$(3 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$(3 y^{2} + 2) d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 3 y^{2} + 2 d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 2 d y = \int d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$y^{3} + 2 y + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y^{3} + 2 y + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{3} + 2 y = x + K$