Математический анализ Примеры

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

Этап 1

Пусть $v = x + y$ . Подставим $v$ вместо $x + y$ для всех.

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

Этап 3

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

Этап 4

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d v}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Добавим $v$ к обеим частям уравнения.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

Этап 4.1.1.2

Добавим $2 v$ и $v$ .

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

Этап 4.1.2

Разделим каждый член $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ на $v$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разделим каждый член $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ на $v$ .

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Этап 4.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Этап 4.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Этап 4.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

Этап 4.2

Умножим обе части на $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $3 + \frac{1}{v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

Этап 4.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

Этап 5

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Этап 5.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{v}{v}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Этап 5.2.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

Этап 5.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\frac{v}{3 v + 1}$ на $1$ .

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Этап 5.2.2

Разделим $v$ на $3 v + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 v$

$1$

$v$

$0$

Этап 5.2.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $v$ на член с максимальной степенью в делителе $3 v$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

Этап 5.2.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $v + \frac{1}{3}$ .

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Этап 5.2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Этап 5.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Этап 5.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Этап 5.2.6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

Этап 5.2.7

Пусть $u = 3 v + 1$ . Тогда $d u = 3 d v$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Пусть $u = 3 v + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.1

Дифференцируем $3 v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

Этап 5.2.7.1.2

По правилу суммы производная $3 v + 1$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 5.2.7.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $v$ , производная $3 v$ по $v$ равна $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 5.2.7.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 5.2.7.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 5.2.7.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $v$ , производная $1$ относительно $v$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 5.2.7.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 5.2.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Этап 5.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Этап 5.2.8.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Этап 5.2.9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Этап 5.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 5.2.10.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 5.2.11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Этап 5.2.12

Упростим.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 5.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Этап 6

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $v$ .

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Этап 6.1.2

Умножим $- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Изменим порядок $\ln (| u |)$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

Этап 6.1.2.2

Упростим $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ путем переноса $\frac{1}{9}$ под логарифм.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

Этап 6.2

Добавим $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ к обеим частям уравнения.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Этап 6.3

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Этап 6.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Этап 6.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Этап 6.5

Упростим $3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Упростим $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

Этап 6.5.1.2

Перемножим экспоненты в ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

Этап 6.5.1.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

Этап 6.5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

Этап 6.5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.5.2

Изменим порядок $3 x$ и $3 C$ .

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Этап 7

Упростим постоянную интегрирования.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Этап 8

Заменим все вхождения $v$ на $x + y$ .

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Этап 9

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

Этап 9.2

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$