Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} (\frac{1}{25 - y}) = 2$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{1}{25 - y}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{25 - y} = 2$

Этап 1.1.2

Умножим обе части на $25 - y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{25 - y} (25 - y) = 2 (25 - y)$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $25 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{25 - y} (25 - y) = 2 (25 - y)$

Этап 1.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = 2 (25 - y)$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим $2 (25 - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 25 + 2 (- y)$

Этап 1.1.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Умножим $2$ на $25$ .

$\frac{d y}{d x} = 50 + 2 (- y)$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 50 - 2 y$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Изменим порядок $50$ и $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 y + 50$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{- 2 y + 50}$ .

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 y + 50} (- 2 y + 50)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y + 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 (- y) + 50} (- 2 y + 50)$

Этап 1.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 (- y) + 2 (25)} (- 2 y + 50)$

Этап 1.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- y) + 2 (25)$ .

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 (- y + 25)} (- 2 y + 50)$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{2 (- y + 25)}$ на $- 2 y + 50$ .

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 y + 50}{2 (- y + 25)}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $- 2 y + 50$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (- y) + 50}{2 (- y + 25)}$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (- y) + 2 \cdot 25}{2 (- y + 25)}$

Этап 1.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- y) + 2 (25)$ .

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (- y + 25)}{2 (- y + 25)}$

Этап 1.3.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (- y + 25)}{2 (- y + 25)}$

Этап 1.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 25}{- y + 25}$

Этап 1.3.4

Сократим общий множитель $- y + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 25}{- y + 25}$

Этап 1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 2 y + 50} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- 2 y + 50} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- 2 y + 50} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = - 2 y + 50$ . Тогда $d u = - 2 d y$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = - 2 y + 50$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $- 2 y + 50$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y + 50]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $- 2 y + 50$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [50]$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [50]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [50]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [50]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d y} [50]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $50$ является константой относительно $y$ , производная $50$ относительно $y$ равна $0$ .

$- 2 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 y + 50$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 y + 50 |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 y + 50 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 y + 50 |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 y + 50 |)) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 y + 50 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| - 2 y + 50 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 y + 50 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| - 2 y + 50 |)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 y + 50 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 y + 50 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 y + 50 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| - 2 y + 50 |) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 y + 50 |) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| - 2 y + 50 |)$ на $1$ .

$\ln (| - 2 y + 50 |) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| - 2 y + 50 |) = - 2 x - 2 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| - 2 y + 50 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| - 2 y + 50 |) = - 2 x - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 y + 50 |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| - 2 y + 50 | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| - 2 y + 50 | = e^{- 2 x - 2 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- 2 y + 50 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $50$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 50$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $- 2 y = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 50$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $- 2 y = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 50$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 50}{- 2}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 50}{- 2}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 50}{- 2}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 50}{- 2}$

Этап 3.5.4.3.1.2

Разделим $- 50$ на $- 2$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + 25$

Этап 3.5.4.3.2

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.5.4.3.3

Объединим $25$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2}$

Этап 3.5.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} + 25 \cdot 2}{2}$

Этап 3.5.4.3.5

Умножим $25$ на $2$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} + 50}{2}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm e^{- 2 x + C} + 50}{2}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- 2 x + C}$ в виде $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} + 50}{2}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- 2 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} + 50}{2}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C e^{- 2 x} + 50}{2}$