Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - y^{2} x {(x^{2} + 2)}^{4}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- y^{2} x {(x^{2} + 2)}^{4})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x {(x^{2} + 2)}^{4})$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y^{2}}$ в числитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} x {(x^{2} + 2)}^{4})$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x {(x^{2} + 2)}^{4}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} (x {(x^{2} + 2)}^{4}))$

Этап 1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} (x {(x^{2} + 2)}^{4}))$

Этап 1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x {(x^{2} + 2)}^{4})$

Этап 1.2.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x ({(x^{2})}^{4} + 4 {(x^{2})}^{3} \cdot 2 + 6 {(x^{2})}^{2} \cdot 2^{2} + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{2 \cdot 4} + 4 {(x^{2})}^{3} \cdot 2 + 6 {(x^{2})}^{2} \cdot 2^{2} + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 4 {(x^{2})}^{3} \cdot 2 + 6 {(x^{2})}^{2} \cdot 2^{2} + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 4 x^{2 \cdot 3} \cdot 2 + 6 {(x^{2})}^{2} \cdot 2^{2} + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 4 x^{6} \cdot 2 + 6 {(x^{2})}^{2} \cdot 2^{2} + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.3

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 8 x^{6} + 6 {(x^{2})}^{2} \cdot 2^{2} + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 8 x^{6} + 6 x^{2 \cdot 2} \cdot 2^{2} + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 8 x^{6} + 6 x^{4} \cdot 2^{2} + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 8 x^{6} + 6 x^{4} \cdot 4 + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.6

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 8 x^{6} + 24 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 2^{3} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 8 x^{6} + 24 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 8 + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.8

Умножим $8$ на $4$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 8 x^{6} + 24 x^{4} + 32 x^{2} + 2^{4}))$

Этап 1.2.4.9

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x (x^{8} + 8 x^{6} + 24 x^{4} + 32 x^{2} + 16))$

Этап 1.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x \cdot x^{8} + x (8 x^{6}) + x (24 x^{4}) + x (32 x^{2}) + x \cdot 16)$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $x$ на $x^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Умножим $x$ на $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{1} x^{8} + x (8 x^{6}) + x (24 x^{4}) + x (32 x^{2}) + x \cdot 16)$

Этап 1.2.6.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{1 + 8} + x (8 x^{6}) + x (24 x^{4}) + x (32 x^{2}) + x \cdot 16)$

Этап 1.2.6.1.2

Добавим $1$ и $8$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + x (8 x^{6}) + x (24 x^{4}) + x (32 x^{2}) + x \cdot 16)$

Этап 1.2.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x \cdot x^{6} + x (24 x^{4}) + x (32 x^{2}) + x \cdot 16)$

Этап 1.2.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x \cdot x^{6} + 24 x \cdot x^{4} + x (32 x^{2}) + x \cdot 16)$

Этап 1.2.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x \cdot x^{6} + 24 x \cdot x^{4} + 32 x \cdot x^{2} + x \cdot 16)$

Этап 1.2.6.5

Перенесем $16$ влево от $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x \cdot x^{6} + 24 x \cdot x^{4} + 32 x \cdot x^{2} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Умножим $x$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Перенесем $x^{6}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 (x^{6} x) + 24 x \cdot x^{4} + 32 x \cdot x^{2} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 (x^{6} x^{1}) + 24 x \cdot x^{4} + 32 x \cdot x^{2} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{6 + 1} + 24 x \cdot x^{4} + 32 x \cdot x^{2} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.1.3

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 x \cdot x^{4} + 32 x \cdot x^{2} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 (x^{4} x) + 32 x \cdot x^{2} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.2.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 (x^{4} x^{1}) + 32 x \cdot x^{2} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 x^{4 + 1} + 32 x \cdot x^{2} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.2.3

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 x^{5} + 32 x \cdot x^{2} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 x^{5} + 32 (x^{2} x) + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 x^{5} + 32 (x^{2} x^{1}) + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 x^{5} + 32 x^{2 + 1} + 16 \cdot x)$

Этап 1.2.7.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 x^{5} + 32 x^{3} + 16 \cdot x)$

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - (x^{9} + 8 x^{7} + 24 x^{5} + 32 x^{3} + 16 x)$

Этап 1.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - x^{9} - (8 x^{7}) - (24 x^{5}) - (32 x^{3}) - (16 x)$

Этап 1.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - x^{9} - 8 x^{7} - (24 x^{5}) - (32 x^{3}) - (16 x)$

Этап 1.2.9.2

Умножим $24$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - (32 x^{3}) - (16 x)$

Этап 1.2.9.3

Умножим $32$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - 32 x^{3} - (16 x)$

Этап 1.2.9.4

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - 32 x^{3} - 16 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (- x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - 32 x^{3} - 16 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - 32 x^{3} - 16 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - 32 x^{3} - 16 x d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - 32 x^{3} - 16 x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - 32 x^{3} - 16 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - 32 x^{3} - 16 x d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - x^{9} - 8 x^{7} - 24 x^{5} - 32 x^{3} - 16 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - x^{9} d x + \int - 8 x^{7} d x + \int - 24 x^{5} d x + \int - 32 x^{3} d x + \int - 16 x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x^{9} d x + \int - 8 x^{7} d x + \int - 24 x^{5} d x + \int - 32 x^{3} d x + \int - 16 x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{9}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{10} x^{10}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2}) + \int - 8 x^{7} d x + \int - 24 x^{5} d x + \int - 32 x^{3} d x + \int - 16 x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2}) - 8 \int x^{7} d x + \int - 24 x^{5} d x + \int - 32 x^{3} d x + \int - 16 x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{3}) + \int - 24 x^{5} d x + \int - 32 x^{3} d x + \int - 16 x d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 24$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 24$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{3}) - 24 \int x^{5} d x + \int - 32 x^{3} d x + \int - 16 x d x$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) + \int - 32 x^{3} d x + \int - 16 x d x$

Этап 2.3.8

Поскольку $- 32$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 32$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 32 \int x^{3} d x + \int - 16 x d x$

Этап 2.3.9

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 32 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \int - 16 x d x$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 16$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 32 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) - 16 \int x d x$

Этап 2.3.11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 32 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) - 16 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6})$

Этап 2.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{x^{10}}{10} - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{7}$

Этап 2.3.12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{x^{10}}{10} - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \frac{x^{2}}{2} + C_{7}$

Этап 2.3.12.2.2

Объединим $- 16$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{x^{10}}{10} - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} + \frac{- 16 x^{2}}{2} + C_{7}$

Этап 2.3.12.2.3

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16 x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{x^{10}}{10} - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} + \frac{2 (- 8 x^{2})}{2} + C_{7}$

Этап 2.3.12.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{x^{10}}{10} - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} + \frac{2 (- 8 x^{2})}{2 (1)} + C_{7}$

Этап 2.3.12.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{x^{10}}{10} - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} + \frac{2 (- 8 x^{2})}{2 \cdot 1} + C_{7}$

Этап 2.3.12.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{x^{10}}{10} - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} + \frac{- 8 x^{2}}{1} + C_{7}$

Этап 2.3.12.2.3.2.4

Разделим $- 8 x^{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{x^{10}}{10} - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} - 8 x^{2} + C_{7}$

Этап 2.3.13

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{10} x^{10} - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} - 8 x^{2} + C_{7}$

Этап 2.3.14

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} - 8 x^{2} - \frac{1}{10} x^{10} + C_{7}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} - 8 x^{2} - \frac{1}{10} x^{10} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $x^{10}$ и $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{y} = - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} - 8 x^{2} - \frac{x^{10}}{10} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1, 1, 1, 10, 1$

Этап 3.2.2

Так как $y, 1, 1, 1, 1, 10, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1, 1, 1, 10, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

У $10$ есть множители: $2$ и $5$ .

$2 \cdot 5$

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $1, 1, 1, 1, 1, 10, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 5$

Этап 3.2.8

Умножим $2$ на $5$ .

$10$

Этап 3.2.9

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.10

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 3.2.11

НОК $y, 1, 1, 1, 1, 10, 1$ представляет собой произведение числовой части $10$ и переменной части.

$10 y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} - 8 x^{2} - \frac{x^{10}}{10} + K$ умножим на $10 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{4} - 8 x^{2} - \frac{x^{10}}{10} + K$ на $10 y$ .

$- \frac{1}{y} (10 y) = - x^{8} (10 y) - 4 x^{6} (10 y) - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (10 y) = - x^{8} (10 y) - 4 x^{6} (10 y) - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $10 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 10) = - x^{8} (10 y) - 4 x^{6} (10 y) - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 10) = - x^{8} (10 y) - 4 x^{6} (10 y) - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 10 = - x^{8} (10 y) - 4 x^{6} (10 y) - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 = - x^{8} (10 y) - 4 x^{6} (10 y) - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 10 = - 1 \cdot 10 x^{8} y - 4 x^{6} (10 y) - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 = - 10 x^{8} y - 4 x^{6} (10 y) - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 10 = - 10 x^{8} y - 4 \cdot 10 x^{6} y - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $- 4$ на $10$ .

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 8 x^{4} (10 y) - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 8 \cdot 10 x^{4} y - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.6

Умножим $- 8$ на $10$ .

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 8 x^{2} (10 y) - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 8 \cdot 10 x^{2} y - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.8

Умножим $- 8$ на $10$ .

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y - \frac{x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.9

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{10}}{10}$ в числитель.

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y + \frac{- x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.9.2

Вынесем множитель $10$ из $10 y$ .

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y + \frac{- x^{10}}{10} (10 (y)) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.9.3

Сократим общий множитель.

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y + \frac{- x^{10}}{10} (10 y) + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.9.4

Перепишем это выражение.

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y - x^{10} y + K (10 y)$

Этап 3.3.3.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 10 = - 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y - x^{10} y + 10 K y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y - x^{10} y + 10 K y = - 10$ .

$- 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y - x^{10} y + 10 K y = - 10$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- 10 x^{8} y - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y - x^{10} y + 10 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- 10 x^{8} y$ .

$y (- 10 x^{8}) - 40 x^{6} y - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y - x^{10} y + 10 K y = - 10$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 40 x^{6} y$ .

$y (- 10 x^{8}) + y (- 40 x^{6}) - 80 x^{4} y - 80 x^{2} y - x^{10} y + 10 K y = - 10$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $- 80 x^{4} y$ .

$y (- 10 x^{8}) + y (- 40 x^{6}) + y (- 80 x^{4}) - 80 x^{2} y - x^{10} y + 10 K y = - 10$

Этап 3.4.2.4

Вынесем множитель $y$ из $- 80 x^{2} y$ .

$y (- 10 x^{8}) + y (- 40 x^{6}) + y (- 80 x^{4}) + y (- 80 x^{2}) - x^{10} y + 10 K y = - 10$

Этап 3.4.2.5

Вынесем множитель $y$ из $- x^{10} y$ .

$y (- 10 x^{8}) + y (- 40 x^{6}) + y (- 80 x^{4}) + y (- 80 x^{2}) + y (- x^{10}) + 10 K y = - 10$

Этап 3.4.2.6

Вынесем множитель $y$ из $10 K y$ .

$y (- 10 x^{8}) + y (- 40 x^{6}) + y (- 80 x^{4}) + y (- 80 x^{2}) + y (- x^{10}) + y (10 K) = - 10$

Этап 3.4.2.7

Вынесем множитель $y$ из $y (- 10 x^{8}) + y (- 40 x^{6})$ .

$y (- 10 x^{8} - 40 x^{6}) + y (- 80 x^{4}) + y (- 80 x^{2}) + y (- x^{10}) + y (10 K) = - 10$

Этап 3.4.2.8

Вынесем множитель $y$ из $y (- 10 x^{8} - 40 x^{6}) + y (- 80 x^{4})$ .

$y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4}) + y (- 80 x^{2}) + y (- x^{10}) + y (10 K) = - 10$

Этап 3.4.2.9

Вынесем множитель $y$ из $y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4}) + y (- 80 x^{2})$ .

$y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2}) + y (- x^{10}) + y (10 K) = - 10$

Этап 3.4.2.10

Вынесем множитель $y$ из $y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2}) + y (- x^{10})$ .

$y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10}) + y (10 K) = - 10$

Этап 3.4.2.11

Вынесем множитель $y$ из $y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10}) + y (10 K)$ .

$y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K) = - 10$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K) = - 10$ на $- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K) = - 10$ на $- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K$ .

$\frac{y (- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K)}{- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K} = \frac{- 10}{- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 10}{- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{10}{- 10 x^{8} - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 10 x^{8}$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8}) - 40 x^{6} - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 40 x^{6}$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8}) - (40 x^{6}) - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (10 x^{8}) - (40 x^{6})$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8} + 40 x^{6}) - 80 x^{4} - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 80 x^{4}$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8} + 40 x^{6}) - (80 x^{4}) - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (10 x^{8} + 40 x^{6}) - (80 x^{4})$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4}) - 80 x^{2} - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 80 x^{2}$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4}) - (80 x^{2}) - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4}) - (80 x^{2})$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2}) - x^{10} + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{10}$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2}) - (x^{10}) + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2}) - (x^{10})$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10}) + 10 K}$

Этап 3.4.3.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $10 K$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10}) - (- 10 K)}$

Этап 3.4.3.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10}) - (- 10 K)$ .

$y = - \frac{10}{- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10} - 10 K)}$

Этап 3.4.3.3.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.13.1

Перепишем $- (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10} - 10 K)$ в виде $- 1 (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10} - 10 K)$ .

$y = - \frac{10}{- 1 (10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10} - 10 K)}$

Этап 3.4.3.3.13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{10}{10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10} - 10 K}$

Этап 3.4.3.3.13.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{10}{10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10} - 10 K}$

Этап 3.4.3.3.13.4

Умножим $\frac{10}{10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10} - 10 K}$ на $1$ .

$y = \frac{10}{10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10} - 10 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{10}{10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + x^{10} + K}$