Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = y \sin^{3} (t)$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y \sin^{3} (t)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (t)))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \sin^{3} (t)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (t) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (t) d t$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем $\sin^{2} (t)$ за скобки.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Этап 2.3.2

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (t)$ в виде $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Этап 2.3.3

Пусть $u = \cos (t)$ . Тогда $d u = - \sin (t) d t$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Пусть $u = \cos (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Дифференцируем $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 2.3.3.1.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Этап 2.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C_{4}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\cos^{3} (t)$ .

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$ в виде $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $t$ и $1$ вместо $y$ в $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ .

$1 = C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1 \cdot 1} = 1$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1} = 1$

Этап 6.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$C e^{\frac{1^{3}}{3} - 1} = 1$

Этап 6.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$C e^{\frac{1}{3} - 1} = 1$

Этап 6.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} = 1$

Этап 6.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} = 1$

Этап 6.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$C e^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} = 1$

Этап 6.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$C e^{\frac{1 - 3}{3}} = 1$

Этап 6.2.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$

Этап 6.3

Разделим каждый член $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ на $e^{- \frac{2}{3}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ на $e^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{C e^{\frac{- 2}{3}}}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $e^{- \frac{2}{3}}$ из $C e^{\frac{- 2}{3}}$ .

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{C e^{\frac{0}{3}}}{1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.2.4

Разделим $C e^{\frac{0}{3}}$ на $1$ .

$C e^{\frac{0}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$C e^{\frac{3 (0)}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$C e^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$C e^{0} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$C \cdot 1 = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.2.4.2

Умножим $C$ на $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перенесем $e^{- \frac{2}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e^{\frac{2}{3}}$

Этап 7

Подставим $e^{\frac{2}{3}}$ вместо $C$ в $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $e^{\frac{2}{3}}$ вместо $C$ .

$y = e^{\frac{2}{3}} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Этап 7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = e^{\frac{2}{3} + \frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$