Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 4 y$

Этап 1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = 2 x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 4 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 4 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 4 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} (2 x)$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} (2 x)$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = 2 e^{- 4 x} x$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = 2 e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = 2 x e^{- 4 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = 2 x e^{- 4 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 4 x} y = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} y = 2 \int x e^{- 4 x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Этап 7.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Этап 7.3.3

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Этап 7.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Этап 7.5.2

Умножим $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ на $1$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Этап 7.6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Этап 7.7

Пусть $u = - 4 x$ . Тогда $d u = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Пусть $u = - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.1

Дифференцируем $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 7.7.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 7.7.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 7.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Этап 7.8.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Этап 7.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Этап 7.10

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Этап 7.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Этап 7.11.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Этап 7.12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Этап 7.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.1

Перепишем $2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ в виде $2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.2

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Этап 7.14

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 7.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4}) + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 7.15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ в числитель.

$e^{- 4 x} y = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{4} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 7.15.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{- 4 x} y = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 7.15.2.3

Сократим общий множитель.

$e^{- 4 x} y = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 7.15.2.4

Перепишем это выражение.

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 7.15.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 4 x}}{16}$ в числитель.

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{16} + C$

Этап 7.15.3.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 (8)} + C$

Этап 7.15.3.3

Сократим общий множитель.

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Этап 7.15.3.4

Перепишем это выражение.

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 7.15.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 7.15.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 7.15.5

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 7.16

Изменим порядок членов.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{2} x e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x}{2} e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Этап 8.1.2

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Этап 8.1.3

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ на $e^{- 4 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ на $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.3.1.2

Умножим $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ на $\frac{e^{- 4 x} x}{2}$ .

$y = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.3.1.5

Умножим $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ на $\frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.3.1.6

Сократим общий множитель $e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 8.2.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$