Математический анализ Примеры

$2 x - y \frac{d y}{d x} = 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- y \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- y \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ на $- y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- y \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ на $- y$ .

$\frac{- y \frac{d y}{d x}}{- y} = \frac{3}{- y} + \frac{- 2 x}{- y}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{3}{- y} + \frac{- 2 x}{- y}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{3}{- y} + \frac{- 2 x}{- y}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{- y} + \frac{- 2 x}{- y}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{y} + \frac{- 2 x}{- y}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{y} + \frac{2 x}{y}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 + 2 x}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 3 + 2 x}{y}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 3 + 2 x}{y}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - 3 + 2 x$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y d y = (- 3 + 2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - 3 + 2 x d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 3 + 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 3 d x + \int 2 x d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 x + C_{2} + \int 2 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 x + C_{2} + 2 \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 x + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 x + 1 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 x + x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} - 3 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} - 3 x + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} - 3 x + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} - 3 x + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (x^{2} - 3 x + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (x^{2} - 3 x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y^{2} = 2 x^{2} - 6 x + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} - 6 x + 2 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 6 x + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) - 6 x + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 K}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (- 3 x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} - 3 x) + 2 K}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 3 x) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} - 3 x + K)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (x^{2} - 3 x + K)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} - 3 x + K)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (x^{2} - 3 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} - 3 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} - 3 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} - 3 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} - 3 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} - 3 x + K)}$