Математический анализ Примеры

$(x + 4 y^{3}) d y - y d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$- y d x + (x + 4 y^{3}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x + 4 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 4 y^{3}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x + 4 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Этап 3.4

Поскольку $4 y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 1 = 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 + 1}{M}$

Этап 5.3

Подставим $- y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- y$ вместо $M$ .

$\frac{1 + 1}{- y}$

Этап 5.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{- y}$

Этап 5.3.3

Подставим $- y$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 6.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 6.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- y d x + (x + 4 y^{3}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- y \frac{1}{y^{2}} d x + (x + 4 y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \cdot - 1 \frac{1}{y^{2}} d x + (x + 4 y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y \cdot - 1 \frac{1}{y \cdot y} d x + (x + 4 y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель.

$y \cdot - 1 \frac{1}{y \cdot y} d x + (x + 4 y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} d x + (x + 4 y^{3}) d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $x + 4 y^{3}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + (x + 4 y^{3}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $x + 4 y^{3}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

Этап 9.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $- \frac{x}{y} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{x}{y}$ по $y$ равна $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.5.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вычтем $\frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + 4 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + 4 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - (4 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - 4 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 4 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.5

Вычтем $4 y^{3}$ из $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.6

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 4 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 4 y)}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 4 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 13.1.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 4 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 13.1.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 y}{1} = 0$

Этап 13.1.1.6.2.4

Разделим $- 4 y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y = 0$

Этап 13.1.2

Добавим $4 y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Этап 14

Найдем первообразную $4 y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Этап 14.3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 4 \int y d y$

Этап 14.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 14.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Перепишем $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 14.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Этап 14.5.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Этап 14.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Этап 14.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Этап 14.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Этап 14.5.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + 2 y^{2} + C$