Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y \cot (2 x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $2 y \cot (2 x)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = x$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $2 \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2 \cot (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $2 \cot (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

Этап 2.2.2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

Этап 2.2.3

Объединим $\cot (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Этап 2.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Этап 2.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

Этап 2.2.5.3

Умножим $\int \cot (u) d u$ на $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

Этап 2.2.6

Интеграл $\cot (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sin (2 x)$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) x$

Этап 3.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем круглые скобки.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $\sin (2 x)$ и $2 \cot (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) x$

Этап 3.2.3

Добавим круглые скобки.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Этап 3.2.4

Выразим $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ через синусы и косинусы.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Этап 3.2.5

Сократим общие множители.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = x \sin (2 x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = x \sin (2 x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\sin (2 x) y = \int x \sin (2 x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 7.2.2

Объединим $x$ и $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 7.3

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Этап 7.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Этап 7.5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 7.6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 7.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Этап 7.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Этап 7.9

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Этап 7.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Перепишем $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ в виде $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 7.10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 7.10.2.2

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 7.11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 7.12

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.1.2

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ на $\sin (2 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ на $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.3.1.2

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x)}$ в $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \csc (2 x) + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.3.1.3

Объединим $\csc (2 x)$ и $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) (\cos (2 x) x)}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.3.1.4

Сократим общий множитель $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.3.1.4.2

Разделим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.3.1.5

Разделим дроби.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.3.1.6

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x)}$ в $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

Этап 8.2.3.1.7

Разделим $C$ на $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

Этап 8.2.3.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$ .

$y = - \frac{x \csc (2 x) \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$