Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x) + 1)}{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} (\ln (\frac{y}{x}) + 1)$

Этап 1.2.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\ln (\frac{y}{x}) + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (\frac{y}{x}) + 1) \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (V) + 1) V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим $(\ln (V) + 1) V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\ln (V) + 1) V$

Этап 6.1.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Этап 6.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + 1 V$

Этап 6.1.1.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.4.1

Умножим $V$ на $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + V$

Этап 6.1.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $\ln (V) V + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V) + V$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + V - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $V \ln (V) + V - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + 0$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $V \ln (V)$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{V \ln (V)}$ .

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $V \ln (V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{V \ln (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{V \ln (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $u = \ln (V)$ . Тогда $d u = \frac{1}{V} d V$ , следовательно $V d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Пусть $u = \ln (V)$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Дифференцируем $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Этап 6.2.2.1.1.2

Производная $\ln (V)$ по $V$ равна $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Этап 6.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| \ln (V) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \ln (V) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 6.3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$

Этап 6.3.3

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |})} = e^{C}$

Этап 6.3.4

Перепишем $\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) |}{| x |}$

Этап 6.3.5

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$

Этап 6.3.5.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 6.3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 6.3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| \ln (V) | = e^{C} | x |$

Этап 6.3.5.4

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) | = | x | e^{C}$

Этап 6.3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) = \pm | x | e^{C}$

Этап 6.3.5.4.3

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C}}$

Этап 6.3.5.4.4

Перепишем $\ln (V) = \pm | x | e^{C}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C}} = V$

Этап 6.3.5.4.5

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.5.1

Перепишем уравнение в виде $V = e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C}}$

Этап 6.3.5.4.5.2

Изменим порядок множителей в $e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x |}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = e^{\pm C | x |}$

Этап 6.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = e^{C | x |}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x |}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = e^{C | x |}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = e^{C | x |} x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{C | x |} x$ .

$y = x e^{C | x |}$