Математический анализ Примеры

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Этап 1.1.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Этап 1.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Этап 1.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

Этап 1.1.1.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

Этап 1.1.2.2

Добавим $x y$ к обеим частям уравнения.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x \frac{d y}{d x}$ из $x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $x \frac{d y}{d x}$ из $x \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $x \frac{d y}{d x}$ из $- x y \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $x \frac{d y}{d x}$ из $x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

Этап 1.1.4

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

Этап 1.1.5

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ на $x (1 - y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ на $x (1 - y)$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.2.2

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

Этап 1.1.5.3.2

Чтобы записать $\frac{y}{1 - y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.1.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (1 - y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.3.1

Умножим $\frac{y}{1 - y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

Этап 1.1.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(1 - y) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.5

Вынесем множитель $y$ из $- y + y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

Этап 1.1.5.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1 - y}{y}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{y}{1 - y}$ на $\frac{1 - x}{x}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1 - y}{y}$ в числитель.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Этап 1.4.3.2

Вынесем множитель $1 - y$ из $- (1 - y)$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Этап 1.4.3.3

Вынесем множитель $1 - y$ из $(1 - y) x$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

Этап 1.4.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Этап 1.4.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Этап 1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.2.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.2.7

Изменим порядок членов.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

Этап 2.3.2

Изменим порядок $1$ и $- x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Разделим $- x + 1$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$x$

$1$

Этап 2.3.3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

Этап 2.3.3.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

Этап 2.3.3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 0$ .

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

Этап 2.3.3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

Этап 2.3.3.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$