Математический анализ Примеры

$y (x^{3} - y^{5}) d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y (x^{3} - y^{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{3} - y^{5})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = x^{3} - y^{5}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{3} - y^{5}] + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x^{3} - y^{5}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{5}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{5}]) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{3}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{5}]) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y^{5}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{5}] + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{5}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{5}]) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (5 y^{4})) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 5 y^{4}) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 (y^{1} y^{4}) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 y^{1 + 4} + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 y^{5} + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 y^{5} + (x^{3} - y^{5}) \cdot 1$

Этап 1.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Умножим $x^{3} - y^{5}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 y^{5} + x^{3} - y^{5}$

Этап 1.8.2

Вычтем $y^{5}$ из $- 5 y^{5}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{5} + x^{3}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - x (x^{3} + y^{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x (x^{3} + y^{5})]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x (x^{3} + y^{5})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x (x^{3} + y^{5})]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x (x^{3} + y^{5})]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{3} + y^{5}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{5}] + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{5}]) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3

Поскольку $y^{5}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{5}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (3 x^{2}) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 (x^{1} x^{2}) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{1 + 2} + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{3} + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{3} + (x^{3} + y^{5}) \cdot 1)$

Этап 2.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $x^{3} + y^{5}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{3} + x^{3} + y^{5})$

Этап 2.9.2

Добавим $3 x^{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (4 x^{3} + y^{5})$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (4 x^{3}) - y^{5}$

Этап 2.10.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 x^{3} - y^{5}$

Этап 2.10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y^{5} - 4 x^{3}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 6 y^{5} + x^{3}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- y^{5} - 4 x^{3}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 y^{5} + x^{3} = - y^{5} - 4 x^{3}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 6 y^{5} + x^{3} = - y^{5} - 4 x^{3}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- y^{5} - 4 x^{3}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $- 6 y^{5} + x^{3}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} - (- 6 y^{5} + x^{3})}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y (x^{3} - y^{5})$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y (x^{3} - y^{5})$ вместо $M$ .

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} - (- 6 y^{5} + x^{3})}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} - (- 6 y^{5}) - x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} + 6 y^{5} - x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.2.3

Добавим $- y^{5}$ и $6 y^{5}$ .

$\frac{5 y^{5} - 4 x^{3} - x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $x^{3}$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{5 y^{5} - 5 x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $5$ из $5 y^{5} - 5 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 y^{5}$ .

$\frac{5 (y^{5}) - 5 x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{3}$ .

$\frac{5 (y^{5}) + 5 (- x^{3})}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (y^{5}) + 5 (- x^{3})$ .

$\frac{5 (y^{5} - x^{3})}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $y^{5} - x^{3}$ и $x^{3} - y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $y^{5}$ .

$\frac{5 (- 1 (- y^{5}) - x^{3})}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$\frac{5 (- 1 (- y^{5}) - (x^{3}))}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- y^{5}) - (x^{3})$ .

$\frac{5 (- 1 (- y^{5} + x^{3}))}{y (x^{3} - y^{5})}$

Этап 4.3.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{5 (- 1 (- y^{5} + x^{3}))}{y (- y^{5} + x^{3})}$

Этап 4.3.3.5

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 1 (- y^{5} + x^{3}))}{y (- y^{5} + x^{3})}$

Этап 4.3.3.6

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \cdot (- 1)}{y}$

Этап 4.3.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{- 5}{y}$

Этап 4.3.5

Подставим $y (x^{3} - y^{5})$ вместо $M$ .

$- \frac{5}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 5 \ln (| y |)$ путем переноса $- 5$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $y (x^{3} - y^{5}) d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y (x^{3} - y^{5})$ на $\frac{1}{y^{5}}$ .

$y (x^{3} - y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{5}$ .

$y (x^{3} - y^{5}) \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$y (x^{3} - y^{5}) \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$(x^{3} - y^{5}) \frac{1}{y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{3} - y^{5}$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $- x (x^{3} + y^{5})$ на $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- x \cdot x^{3} - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- (x^{3} x) - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.6.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- (x^{3} x^{1}) - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- x^{3 + 1} - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- x^{4} - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $- x^{4} - x y^{5}$ на $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{- x^{4} - x y^{5}}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{4} - x y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{4}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- x^{3}) - x y^{5}}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x y^{5}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- x^{3}) + x (- 1 y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x^{3}) + x (- 1 y^{5})$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- x^{3} - 1 y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.8.2

Перепишем $- 1 y^{5}$ в виде $- y^{5}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- x^{3} - y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- (x^{3}) - y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{5}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- (x^{3}) - (y^{5}))}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - (y^{5})$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- (x^{3} + y^{5}))}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.12

Перепишем $- (x^{3} + y^{5})$ в виде $- 1 (x^{3} + y^{5})$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- 1 (x^{3} + y^{5}))}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{1}{y^{4}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{y^{4}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} \int x^{3} - y^{5} d x$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\int x^{3} d x + \int - y^{5} d x)$

Этап 8.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - y^{5} d x)$

Этап 8.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} + C - y^{5} x + C)$

Этап 8.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{x^{4}}{4} + C - y^{5} x + C)$

Этап 8.6

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.2

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d}{d y} [\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x] + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.3

По правилу суммы производная $\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{5} x]$ .

$\frac{1}{y^{4}} (\frac{d}{d y} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{5} x]) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.4

Поскольку $\frac{x^{4}}{4}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{4}}{4}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{5} x]) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.5

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{5} x$ по $y$ равна $- x \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x \frac{d}{d y} [y^{5}]) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.7

Перепишем $\frac{1}{y^{4}}$ в виде ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.10

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - 5 x y^{4}) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.11

Вычтем $5 x y^{4}$ из $0$ .

$\frac{1}{y^{4}} (- 5 x y^{4}) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.12

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{- 5}{y^{4}} (x y^{4}) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.13

Объединим $x$ и $\frac{- 5}{y^{4}}$ .

$\frac{x \cdot - 5}{y^{4}} y^{4} + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.14

Объединим $\frac{x \cdot - 5}{y^{4}}$ и $y^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 5 y^{4}}{y^{4}} + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.15

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x y^{4}}{y^{4}} + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.16

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.16.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x y^{4}}{y^{4}} + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.16.2

Разделим $- 5 x$ на $1$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.17

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.17.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.18

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.19

Умножим $y^{- 8}$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.19.1

Перенесем $y^{3}$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.3.19.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 x + \frac{x^{4}}{4} (- 4 \frac{1}{y^{5}}) - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{y^{5}}$ .

$- 5 x + \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{- 4}{y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 5 x + \frac{x^{4}}{4} (- \frac{4}{y^{5}}) - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.3

Умножим $\frac{x^{4}}{4}$ на $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4} \cdot 4}{4 y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.4

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$- 5 x - \frac{4 \cdot x^{4}}{4 y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$- 5 x - \frac{4 x^{4}}{4 y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.6

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{y^{5}}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} - y^{5} x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} - y^{5} x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + 1 y^{5} x \frac{4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.9

Умножим $y^{5}$ на $1$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + y^{5} x \frac{4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.10

Объединим $y^{5}$ и $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + x \frac{y^{5} \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.11

Объединим $x$ и $\frac{y^{5} \cdot 4}{y^{5}}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{x (y^{5} \cdot 4)}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.12

Перенесем $4$ влево от $y^{5}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{x (4 \cdot y^{5})}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.13

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{4 \cdot x y^{5}}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.14

Сократим общий множитель $y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.14.1

Сократим общий множитель.

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{4 x y^{5}}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.14.2

Разделим $4 x$ на $1$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + 4 x + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3.15

Добавим $- 5 x$ и $4 x$ .

$- x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 11.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - x - \frac{x^{4}}{y^{5}} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Добавим $\frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x \cdot x^{3} + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x^{1} x^{3} + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x^{1 + 3} + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.3.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x^{4} + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.4

Добавим $- x^{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{0 + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.5

Добавим $0$ и $x y^{5}$ .

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.6

Сократим общий множитель $y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x + x = 0$

Этап 12.1.7

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d y} - x + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.7.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Этап 12.1.7.2

Добавим $\frac{d g}{d y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) + C$

Этап 15.2

Умножим $\frac{1}{y^{4}}$ на $\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x}{y^{4}} + C$

Этап 15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{x^{3}}{4} - y^{5} x}{y^{4}} + C$

Этап 15.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- y^{5} x$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{x^{3}}{4} + x (- y^{5})}{y^{4}} + C$

Этап 15.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \frac{x^{3}}{4} + x (- y^{5})$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{x^{3}}{4} - y^{5})}{y^{4}} + C$

Этап 15.3.2

Чтобы записать $- y^{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{x^{3}}{4} - y^{5} \cdot \frac{4}{4})}{y^{4}} + C$

Этап 15.3.3

Объединим $- y^{5}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{x^{3}}{4} + \frac{- y^{5} \cdot 4}{4})}{y^{4}} + C$

Этап 15.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x \frac{x^{3} - y^{5} \cdot 4}{4}}{y^{4}} + C$

Этап 15.3.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{x^{3} - 4 y^{5}}{4}}{y^{4}} + C$

Этап 15.4

Объединим $x$ и $\frac{x^{3} - 4 y^{5}}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x (x^{3} - 4 y^{5})}{4}}{y^{4}} + C$

Этап 15.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (x, y) = \frac{x (x^{3} - 4 y^{5})}{4} \cdot \frac{1}{y^{4}} + C$

Этап 15.6

Объединим.

$f (x, y) = \frac{x (x^{3} - 4 y^{5}) \cdot 1}{4 y^{4}} + C$

Этап 15.7

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (x^{3} - 4 y^{5})}{4 y^{4}} + C$