Математический анализ Примеры

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

Этап 1

Пусть $v = y^{2}$ . Подставим $v$ вместо $y^{2}$ для всех.

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Этап 3

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

Этап 4

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

Этап 5

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Этап 5.4

Подставим $\frac{d v}{d x}$ вместо $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Этап 5.5

Изменим порядок $v$ и $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Этап 5.6

Умножим $v$ на $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Этап 6

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

Этап 7

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

Этап 8

Проинтегрируем левую часть.

$x v = \int 2 x d x$

Этап 9

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x v = 2 \int x d x$

Этап 9.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 9.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 9.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 9.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x v = 1 x^{2} + C$

Этап 9.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x v = x^{2} + C$

Этап 10

Разделим каждый член $x v = x^{2} + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим каждый член $x v = x^{2} + C$ на $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 10.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 10.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Этап 10.3.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 10.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 10.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Этап 10.3.1.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$v = x + \frac{C}{x}$

Этап 11

Заменим все вхождения $v$ на $y^{2}$ .

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

Этап 12

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

Этап 12.2

Упростим $\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

Этап 12.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

Этап 12.2.3

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

Этап 12.2.4

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

Этап 12.2.5

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 12.2.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 12.2.6.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Этап 12.2.6.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Этап 12.2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 12.2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 12.2.6.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 12.2.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 12.2.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.2.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.2.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Этап 12.2.6.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

Этап 12.2.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

Этап 12.2.8

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Этап 12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Этап 12.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Этап 12.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$