Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x y^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (x y^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{3}}$ из $x y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x)$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x)$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{3}}$ по $y$ имеет вид $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Объединим.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.5

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.6

Разделим $y^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{3} K$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{2}{3} K$

Этап 3.2.2.1.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $K$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{2 K}{3}$

Этап 3.2.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{2 K}{3}$

Этап 3.2.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3}$

Этап 3.3

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4.1.2

Упростим.

$y = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$