Математический анализ Примеры

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ на $e^{- y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Разделим каждый член $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ на $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Этап 1.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Сократим общий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Этап 1.1.1.2.1.2

Разделим $1 + \frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

Этап 1.1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $\frac{1}{e^{- y}} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ на $1$ .

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Тогда $d u_{2} = e^{- y} d y$ , следовательно $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $1 - e^{- y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - e^{- y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Этап 2.2.2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Этап 2.2.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- e^{- y}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Этап 2.2.2.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- y$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.2.2.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.2.2.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- y$ .

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.2.2.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Этап 2.2.2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Этап 2.2.2.1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

Этап 2.2.2.1.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- y}$ .

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

Этап 2.2.2.1.3.7

Перепишем $- 1 e^{- y}$ в виде $- e^{- y}$ .

$0 - - e^{- y}$

Этап 2.2.2.1.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 e^{- y}$

Этап 2.2.2.1.3.9

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$0 + e^{- y}$

Этап 2.2.2.1.4

Добавим $0$ и $e^{- y}$ .

$e^{- y}$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - e^{- y}$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$