Математический анализ Примеры

$(2 y^{3} - x^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 y^{3} - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{3} - x^{3}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 y^{3} - x^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y^{3}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $- x^{3}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $6 y^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y^{2}$ по $x$ равна $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $6 y^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} = 3 y^{2}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$6 y^{2} = 3 y^{2}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $6 y^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 y^{2} - (3 y^{2})}{N}$

Этап 4.3

Подставим $3 x y^{2}$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $3 x y^{2}$ вместо $N$ .

$\frac{6 y^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $6 y^{2} - 1 \cdot 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $6 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 6 - 1 \cdot 3 y^{2}}{3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 1 \cdot 3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 6 + y^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 6 + y^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y^{2} (6 - 1 \cdot 3)}{3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{y^{2} (6 - 3)}{3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3}{3 x y^{2}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} \cdot 3}{3 x y^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{3 x}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3 x}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | x | + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 y^{3} - x^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 y^{3} - x^{3}$ на $x$ .

$(2 y^{3} - x^{3}) x d x + 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 y^{3} x - x^{3} x) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $x$ .

$(2 y^{3} x - (x \cdot x^{3})) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 6.3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 y^{3} x - (x^{1} x^{3})) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 6.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 y^{3} x - x^{1 + 3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 6.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$(2 y^{3} x - x^{4}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $3 x y^{2}$ на $x$ .

$(2 y^{3} x - x^{4}) d x + 3 x y^{2} x d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем $x$ .

$(2 y^{3} x - x^{4}) d x + 3 (x \cdot x) y^{2} d y = 0$

Этап 6.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 y^{3} x - x^{4}) d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $3 x^{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3 x^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{2} d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ в виде $3 x^{2} \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{3}{3} y^{3} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 3}{3} y^{3} + C$

Этап 8.3.2.3

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot x^{2}}{3} y^{3} + C$

Этап 8.3.2.4

Умножим $3$ на $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{2}}{3} y^{3} + C$

Этап 8.3.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{3 x^{2}}{3} y^{3} + C$

Этап 8.3.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{3} x - x^{4}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3} + g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $x^{2} y^{3} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y^{3}$ по $x$ равна $y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

Этап 11.3.3

Перенесем $2$ влево от $y^{3}$ .

$2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{3} x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x - x^{4}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} x = 2 y^{3} x - x^{4}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $2 y^{3} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x - x^{4} - 2 y^{3} x$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $2 y^{3} x - x^{4} - 2 y^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вычтем $2 y^{3} x$ из $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{4} + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $- x^{4}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{4}$

Этап 13

Найдем первообразную $- x^{4}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - x^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{4} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{4} d x$

Этап 13.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int x^{4} d x$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Этап 13.5

Перепишем $- (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ в виде $- \frac{1}{5} x^{5} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{5} x^{5} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{2} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

Этап 15

Объединим $x^{5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - \frac{x^{5}}{5} + C$