Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + 4 x$ , $y (2) = 10$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (6 x^{2} + 4 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 6 x^{2} + 4 x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 4 x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 2 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $x$ и $10$ вместо $y$ в $y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + K$ .

$10 = 2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$ .

$2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Этап 4.2

Упростим $2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Этап 4.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 3} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Этап 4.2.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Этап 4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Этап 4.2.1.3

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$16 + 2^{1} \cdot 2^{2} + K = 10$

Этап 4.2.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 + 2^{1 + 2} + K = 10$

Этап 4.2.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$16 + 2^{3} + K = 10$

Этап 4.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 + 8 + K = 10$

Этап 4.2.2

Добавим $16$ и $8$ .

$24 + K = 10$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$K = 10 - 24$

Этап 4.3.2

Вычтем $24$ из $10$ .

$K = - 14$

Этап 5

Подставим $- 14$ вместо $K$ в $y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 14$ вместо $K$ .

$y = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 14$