Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Изменим порядок $5$ и $4 x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Перенесем $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x - x^{2} + 5} d x$

Этап 2.3.3

Изменим порядок $4 x$ и $- x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.4

Разделим $x^{3} - 21 x$ на $- x^{2} + 4 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

Этап 2.3.4.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $- x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

Этап 2.3.4.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Этап 2.3.4.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 4 x^{2} - 5 x$ .

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Этап 2.3.4.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

Этап 2.3.4.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

Этап 2.3.4.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $- x^{2}$ .

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

Этап 2.3.4.8

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Этап 2.3.4.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} - 16 x - 20$ .

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Этап 2.3.4.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Этап 2.3.4.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$y + C_{1} = \int - x - 4 + \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int - x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.10

Поскольку $20$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $20$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.11

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{1}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

Этап 2.3.11.1.1.1.2

Запишем $4$ как $- 1$ плюс $5$

$\frac{1}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

Этап 2.3.11.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

Этап 2.3.11.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{1}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

Этап 2.3.11.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{1}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

Этап 2.3.11.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$\frac{1}{(- x - 1) (x - 5)}$

Этап 2.3.11.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

Этап 2.3.11.1.3

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.5

Сократим общий множитель $- x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.6

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.7.1

Сократим общий множитель $- x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.7.1.2

Разделим $(A) (x - 5)$ на $1$ .

$1 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.7.3

Перенесем $- 5$ влево от $A$ .

$1 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.7.4

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.11.1.7.4.2

Разделим $(B) (- x - 1)$ на $1$ .

$1 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

Этап 2.3.11.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

Этап 2.3.11.1.7.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

Этап 2.3.11.1.7.7

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

Этап 2.3.11.1.7.8

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - B$

Этап 2.3.11.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.8.1

Перенесем $B$ .

$1 = A x - 5 A - x B - B$

Этап 2.3.11.1.8.2

Перенесем $- 5 A$ .

$1 = A x - x B - 5 A - B$

Этап 2.3.11.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A - 1 B$

Этап 2.3.11.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.11.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.11.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A - 1 B = 0$ .

$A - 1 B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.11.3.1.2

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$A - B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.11.3.1.3

Добавим $B$ к обеим частям уравнения.

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.11.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 5 A - 1 B$ на $B$ .

$1 = - 5 B - 1 B$

$A = B$

Этап 2.3.11.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.2.2.1

Упростим $- 5 B - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.2.2.1.1

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$1 = - 5 B - B$

$A = B$

Этап 2.3.11.3.2.2.1.2

Вычтем $B$ из $- 5 B$ .

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

Этап 2.3.11.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - 6 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 6 B = 1$ .

$- 6 B = 1$

$A = B$

Этап 2.3.11.3.3.2

Разделим каждый член $- 6 B = 1$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 6 B = 1$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Этап 2.3.11.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Этап 2.3.11.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Этап 2.3.11.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

Этап 2.3.11.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{1}{6}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = B$ на $- \frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

Этап 2.3.11.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

Этап 2.3.11.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{6}, B = - \frac{1}{6}$

Этап 2.3.11.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.2

Умножим $\frac{1}{- x - 1}$ на $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{(- x - 1) \cdot 6} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.3

Перенесем $6$ влево от $- x - 1$ .

$- \frac{1}{6 \cdot (- x - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.5.7.1

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{1}{6 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.7.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6 (x + 1)}) + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.7.4

Умножим $\frac{1}{6 (x + 1)}$ на $1$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 5}$

Этап 2.3.11.5.9

Умножим $\frac{1}{x - 5}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{(x - 5) \cdot 6}$

Этап 2.3.11.5.10

Перенесем $6$ влево от $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6 (x - 5)} d x$

Этап 2.3.12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\int \frac{1}{6 (x + 1)} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Этап 2.3.13

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Этап 2.3.14

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.14.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.14.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.14.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.14.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.14.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.14.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.14.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Этап 2.3.15

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Этап 2.3.16

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \int \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Этап 2.3.17

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 5} d x))$

Этап 2.3.18

Пусть $u_{2} = x - 5$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1

Пусть $u_{2} = x - 5$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1.1

Дифференцируем $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 2.3.18.1.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.18.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.18.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.18.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.18.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.19

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Этап 2.3.20

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Этап 2.3.21

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Этап 2.3.21.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C$