Математический анализ Примеры

$(y + 2 x) d y + y d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $y + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 2$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = 2$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Этап 5.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $y$ вместо $M$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Этап 5.3.2

Подставим $y$ вместо $M$ .

$\frac{1}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Этап 6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Этап 6.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | y | + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $y d x + (y + 2 x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y \cdot y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $y + 2 x$ на $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) y d y = 0$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} d x + (y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} d x + (y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = y^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + 2 x y$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $y^{2} x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y^{2} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Этап 12.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = y^{2} + 2 x y$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y - 2 x y$

Этап 13.1.2

Объединим противоположные члены в $y^{2} + 2 x y - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Этап 13.1.2.2

Добавим $y^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Этап 14

Найдем первообразную $y^{2}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Этап 14.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 16

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{y^{3}}{3} + C$