Математический анализ Примеры

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y^{2}$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{y^{2}}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Этап 1.4.2

Перепишем $\frac{1}{y^{2}}$ в виде ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 1.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 1.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Этап 1.4.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Этап 1.4.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

Этап 1.4.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

Этап 1.4.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Этап 1.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

Этап 1.4.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

Этап 1.5.2.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

Этап 1.5.2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 4 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

Этап 2.2

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2} y$ по $x$ равна $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $8 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $8 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $8 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

Этап 4.3

Подставим $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ вместо $M$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Этап 4.3.2

Умножим числитель и знаменатель дроби на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Этап 4.3.2.2

Объединим.

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{2} (8 x y)$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.1.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.1.3

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.3

Умножим $y^{- 1}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1

Перенесем $y$ .

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.3.2

Умножим $y$ на $y^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.4

Упростим $8 y^{0} x$ .

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.8

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.8.2

Вынесем множитель $y$ из $4 x y$ .

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.9

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.10

Умножим $- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.10.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.10.3

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{2 x}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.10.4

Умножим $y$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.10.4.1

Умножим $y$ на $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.10.4.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.10.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.10.4.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.11

Вычтем $4 x$ из $8 x$ .

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.12

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.12.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.12.2

Вынесем множитель $2 x$ из $\frac{2 x}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.12.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.13

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.15.1

Объединим $y^{3}$ и $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ .

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.15.2

Объединим $2$ и $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ .

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.15.3

Объединим $x$ и $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.16

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.17

Сократим выражение $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.17.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.17.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{4}$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.17.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.17.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.5.18

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Этап 4.3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $x$ из $y^{2} (2 x y^{2}) + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $y^{2} (2 x y^{2})$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

Этап 4.3.6.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

Этап 4.3.6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

Этап 4.3.6.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

Этап 4.3.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

Этап 4.3.6.3

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

Этап 4.3.6.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

Этап 4.3.6.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

Этап 4.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

Этап 4.3.8

Объединим.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Этап 4.3.9

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Этап 4.3.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Этап 4.3.10

Сократим общий множитель $2 y^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Этап 4.3.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

Этап 4.3.11

Подставим $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ вместо $M$ .

$\frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Этап 5.4.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ на $y^{2}$ .

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $y^{2}$ .

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Этап 6.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Этап 6.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Этап 6.4.2

Перепишем это выражение.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $4 x^{2} y$ на $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перенесем $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

Этап 6.6.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

Этап 6.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

Этап 6.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $4 x^{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4 x^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ в виде $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

Этап 8.3.2.3

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

Этап 8.3.2.4

Умножим $4$ на $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Этап 8.3.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Этап 8.3.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $x^{2} y^{4} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y^{4}$ по $x$ равна $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Этап 11.3.3

Перенесем $2$ влево от $y^{4}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $2 y^{4} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $2 x y^{4}$ и $- 2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

Этап 12.1.2.2

Вычтем $2 y^{4} x$ из $2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Этап 12.1.2.3

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Этап 13

Найдем первообразную $x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Этап 13.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $x^{2} y^{4}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 15.3

Чтобы записать $y^{4} x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 15.4

Объединим $y^{4} x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 15.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

Этап 15.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y^{4} x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

Этап 15.6.1.2

Умножим на $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

Этап 15.6.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Этап 15.6.2

Перенесем $2$ влево от $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$