Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = e^{x}$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int e^{x} d x$

Этап 1.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x} + C_{1}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (e^{x} + C_{1}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int e^{x} + C_{1} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \int e^{x} + C_{1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{2} = \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$y + C_{2} = e^{x} + C_{3} + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = e^{x} + C_{3} + C_{1} x + C_{4}$

Этап 3.3.4

Упростим.

$y + C_{2} = e^{x} + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$y + C_{2} = C_{1} x + e^{x} + C_{5}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = C x + e^{x} + D$