Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{y (x + 2)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} (\frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{x}{x + 2}$ на $\frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$ .

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \cdot \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{(x + 2) y}$

Этап 1.3.2

Объединим.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

Этап 1.3.4

Сократим общий множитель ${(y^{2} + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

Этап 1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y^{2} + 1$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y^{2} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 y + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{{u_{1}}^{4}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от ${u_{1}}^{4}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем ${u_{1}}^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.4.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.4.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 4}$ по $u_{1}$ имеет вид $- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1})$ в виде $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Умножим $\frac{1}{{u_{1}}^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{{u_{1}}^{3} \cdot 3}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.6.2.2

Перенесем $3$ влево от ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3 \cdot {u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.6.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3 {u_{1}}^{3}}$ .

$- \frac{1}{2 (3 {u_{1}}^{3})} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.6.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{1}{6 {u_{1}}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $x$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Этап 2.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Этап 2.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Этап 2.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 2$ .

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Этап 2.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Этап 2.3.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 2.3.7

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.7.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.7.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$