Математический анализ Примеры

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + (x^{4} \cos (y)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x + 3 x^{3} \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 x^{3} \sin (y)]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + 3 x^{3} \sin (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3 x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{3} \sin (y)$ по $y$ равна $3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (y)$ по $y$ равна $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \cos (y)$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{3} \cos (y)$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{4} \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (y)]$

Этап 2.2

Поскольку $\cos (y)$ является константой относительно $x$ , производная $x^{4} \cos (y)$ по $x$ равна $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (4 x^{3})$

Этап 2.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $4$ влево от $\cos (y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot \cos (y) x^{3}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $4 \cos (y) x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} \cos (y)$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 x^{3} \cos (y)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $4 x^{3} \cos (y)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3 x^{3} \cos (y)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $4 x^{3} \cos (y)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{4} \cos (y)$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{4} \cos (y)$ вместо $N$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{x^{4} \cos (y)}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $x^{3} \cos (y)$ из $3 x^{3} \cos (y) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $x^{3} \cos (y)$ из $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)}{x^{4} \cos (y)}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $x^{3} \cos (y)$ из $- 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $x^{3} \cos (y)$ из $x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) \cdot - 1}{x^{4} \cos (y)}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} \cos (y) \cdot - 1$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{4} \cos (y)}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x}$

Этап 4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| x |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x + 3 x^{3} \sin (y)$ на $\frac{1}{x}$ .

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) \frac{1}{x} d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$(1 + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3} \sin (y)$ .

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x^{4} \cos (y)$ на $\frac{1}{x}$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} \cos (y)$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 6.6.2

Сократим общий множитель.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 6.6.3

Перепишем это выражение.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{3} \cos (y) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} \cos (y) d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{3} \cos (y)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $x^{3}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x^{3}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{3} \int \cos (y) d y$

Этап 8.2

Интеграл $\cos (y)$ по $y$ имеет вид $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} (\sin (y) + C)$

Этап 8.3

Упростим.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y) + g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $x^{3} \sin (y) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $\sin (y)$ является константой относительно $x$ , производная $x^{3} \sin (y)$ по $x$ равна $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\sin (y) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Этап 11.3.3

Перенесем $3$ влево от $\sin (y)$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} \sin (y) = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $3 x^{2} \sin (y)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вычтем $3 x^{2} \sin (y)$ из $3 x^{2} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Этап 13

Найдем первообразную $1$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Этап 13.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = x + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + x + C$