Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{1 - y^{2}} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d x}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{1^{2} - y^{2}} = 0$

Этап 1.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = y$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{(1 + y) (1 - y)} = 0$

Этап 1.1.2

Вычтем $\frac{x}{(1 + y) (1 - y)}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (- \frac{x}{(1 + y) (1 - y)})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{- 1}{x} \cdot \frac{x}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{- 1}{x} \cdot \frac{x}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = - \frac{1}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} d y$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} d y$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} d y$

Этап 2.3.2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{1 + y}$

Этап 2.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + y} + \frac{B}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{1 (1 + y) (1 - y)}{(1 + y) (1 - y)} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + y) (1 - y)}{(1 + y) (1 - y)} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - y)}{1 - y} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.5

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - y)}{1 - y} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.6.1.2

Разделим $(A) (1 - y)$ на $1$ .

$1 = (A) (1 - y) + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- y) + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- y) + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - A y + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.6.5

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - A y + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.3.2.1.6.5.2

Разделим $(B) (1 + y)$ на $1$ .

$1 = A - A y + (B) (1 + y)$

Этап 2.3.2.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A - A y + B \cdot 1 + B y$

Этап 2.3.2.1.6.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A - A y + B + B y$

Этап 2.3.2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - y A + B + B y$

Этап 2.3.2.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $y$ .

$1 = A - y A + B + B y$

Этап 2.3.2.1.7.3

Перенесем $B$ .

$1 = A - y A + B y + B$

Этап 2.3.2.1.7.4

Перенесем $A$ .

$1 = - y A + B y + A + B$

Этап 2.3.2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.3.2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.3.2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Этап 2.3.2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.3.2.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.3.2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1

Упростим $- 1 (1 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Умножим $B$ на $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3.3

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.3.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.3.4.2.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{1 + y} + \frac{B}{1 - y}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + y} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - y}$

Этап 2.3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + y} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - y}$

Этап 2.3.2.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{2 (1 + y)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - y}$

Этап 2.3.2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 (1 + y)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - y}$

Этап 2.3.2.5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 - y}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (1 + y)} + \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{2 (1 + y)} d y + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y)$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + y} d y + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y)$

Этап 2.3.5

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y)$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y)$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y)$

Этап 2.3.8

Пусть $u_{2} = 1 - y$ . Тогда $d u_{2} = - d y$ , следовательно $- d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Пусть $u_{2} = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.8.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Этап 2.3.11

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{3})))$

Этап 2.3.12

Упростим.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.13.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - y$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.14.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - y |)}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.14.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.15

Изменим порядок членов.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| x |) = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}) + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| x |) + \frac{\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $\ln (| x |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| x |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\ln (| x |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} = C$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| x |) \cdot 2 + \ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} = C$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| x |)$ .

$\frac{2 \ln (| x |) + \ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} = C$

Этап 3.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| x |) + \ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| x |}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln (x^{2}) + \ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x^{2} \frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}$ .

$\frac{\ln (\frac{x^{2} | 1 + y |}{| 1 - y |})}{2} = C$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{x^{2} | 1 + y |}{| 1 - y |})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{x^{2} | 1 + y |}{| 1 - y |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{x^{2} | 1 + y |}{| 1 - y |}) = C$

Этап 3.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{x^{2} | 1 + y |}{| 1 - y |})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{x^{2} | 1 + y |}{| 1 - y |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Применим правило умножения к $\frac{x^{2} | 1 + y |}{| 1 - y |}$ .

$\ln (\frac{{(x^{2} | 1 + y |)}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.4.2

Применим правило умножения к $x^{2} | 1 + y |$ .

$\ln (\frac{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{x^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{x^{1} {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (\frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Умножим обе части на ${| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Сократим общий множитель ${| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.4

Разделим каждый член $x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}$ на ${| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Разделим каждый член $x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}$ на ${| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x {| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{e^{C} {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$x = \frac{C {| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + y |}^{\frac{1}{2}}}$