Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x y = x^{3} - x^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x y = x^{3} - x^{2}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{3 x y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{3 x y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (3 y)}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (3 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (3 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{2} x}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x}{1} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.4

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.5.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x - 1$

Этап 1.6

Вынесем множитель $y$ из $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x - 1$

Этап 1.7

Изменим порядок $y$ и $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x - 1$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{3})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{3}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{3}{x}$ и $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{4} + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{4} - 1 \cdot x^{3}$

Этап 3.3.3

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{4} - x^{3}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x^{4} - x^{3}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x^{4} - x^{3} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{3} y = \int x^{4} - x^{3} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x^{3} y = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - x^{3} d x$

Этап 7.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - \int x^{3} d x$

Этап 7.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 7.5

Упростим.

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + C$ на $x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + C$ на $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{1}{5} x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.3

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- \frac{1}{4} x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{4} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.3.2.4

Разделим $- \frac{1}{4} x$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{1}{4} x + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 8.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{x}{4} + \frac{C}{x^{3}}$